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Global exact controllability for Schrödinger equations with Lipschitz and logarithmic nonlinearities

Lei Zhang, Xiuting Li · 2026 · arXiv (Cornell University)

DOI: 10.48550/arxiv.2610.27658 · cited by 0 works (OpenAlex) · open-access PDF

French

Dans ce document, nous étudions la maîtrise globale exacte des équations de Schrödinger semi-linéaires par des contrôles additifs internes localisés. Pour chaque non-linéarité de Lipschitz dans des dimensions arbitraires, nous démontrons que les deux états L^2$ peuvent être connectés dans n'importe quel temps positif prescrit, sans hypothèses de petitesse sur les états ou la constante de Lipschitz. Le résultat tient sur des domaines euclidiens bordés en douceur dans une condition de phase convexe locale, et sur un intervalle avec toute région de contrôle ouverte non vide. Il s'étend également aux multiples Riemanniens compacts dans les conditions de phase correspondantes. Dans une dimension, nous établissons encore la maîtrise des

Machine translation (Meta M2M100); the English original follows.

Abstract

In this paper, we study global exact controllability of semilinear Schrödinger equations by localized internal additive controls. For every globally Lipschitz nonlinearity in arbitrary dimensions, we prove that any two $L^2$ states can be connected in any prescribed positive time, without smallness assumptions on the states or the Lipschitz constant. The result holds on smooth bounded Euclidean domains under a local convex-phase condition, and on an interval with any nonempty open control region. It also extends to compact Riemannian manifolds under the corresponding phase condition. In one dimension, we further establish controllability for logarithmic nonlinearities of the form \[ f(z)=zϕ(|z|)+\mathfrak g(z), \] where $ϕ$ is real-valued, $\mathfrak g$ is globally Lipschitz, and $r|ϕ'(r)|\leq D(1+|\log r|)^γ$ with $0\leqγ<1/2$. For the endpoint case $γ=1/2$, we achieve the result by assuming the leading coefficient is sufficiently small. These results resolve the global Lipschitz controllability question raised by Zuazua \cite[Section~3]{Zuazua2003} in the stated geometric settings and establish its logarithmic extension within the specified one-dimensional classes.

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Topics: Lipschitz continuity, Controllability, Mathematics, Bounded function, Logarithm, Interval (graph theory)

Sources: OpenAlex (CC0), arXiv, Crossref. Agent Exchange