Newest papers

Attracting Rotations Obstruct Almost-Global Consensus on Spheres over Strongly Connected Graphs

Galina M. Sidorenko, Johan Thunberg · 2026 · arXiv (Cornell University)

DOI: 10.48550/arxiv.2610.28341 · cited by 0 works (OpenAlex) · open-access PDF

Vietnamese

Chúng tôi nghiên cứu sự đồng thuận thời gian cố định trên cầu đơn vị Euclidean, nơi các kết hợp trọng lượng của các trạng thái lân cận được bình thường hóa thành độ dài đơn vị. Đối với trọng lượng đối xứng trên các biểu đồ không định hướng được kết nối và kích thước môi trường $d\ge3$, kết quả trước đó thiết lập sự bất ổn của các điểm cố định không đồng thuận trong điều kiện trọng lượng phù hợp. Đầu tiên, chúng tôi xây dựng các biểu đồ cố định không đồng thuận đầy đủ trên vòng tròn đơn vị, kết quả trước đây cho thấy các điểm cố định khác so với sự đồng thuận và cấu hình antipodal chỉ xảy ra đối với một tập hợp trọng lượng đo lường-không. Chúng tôi cho thấy rằng những kết luận này không trực tiếp mở rộng đến các biểu đồ định hướng được kết nối mạnh mẽ trên các kích thước cao hơn. Đầu tiên, chúng tôi xây dựng các

Machine translation (Meta M2M100); the English original follows.

Abstract

We study discrete-time consensus on the Euclidean unit sphere, where weighted combinations of neighboring states are normalized to unit length. For symmetric weights on connected undirected graphs and ambient dimension $d\ge3$, earlier results establish instability of non-consensus fixed points under suitable weight conditions. For directed graphs on the unit circle, earlier results show that fixed points other than consensus and antipodal configurations occur only for a measure-zero set of weights. We show that these conclusions do not extend directly to general strongly connected directed graphs in higher dimensions. First, we construct full-rank non-consensus fixed points whose tangent eigenvalues all equal one, showing that strict linear instability need not hold. In a separate construction, for every $d\ge3$, we present a sparse strongly connected graph admitting full-rank fixed points on an open set of its permitted weights. Our main result establishes robust counterexamples to almost-global consensus: attracting rotating motions exist for $d=2$ with every $n\ge3$ and for $d=3$ with every $n\ge6$. These motions are locally asymptotically stable modulo common rotations and have asymptotic phase. They persist on open sets of strictly positive weight matrices. For each such matrix, an open set of initial configurations approaches neither consensus nor any fixed configuration. Thus the absence of full-rank non-consensus fixed points does not ensure almost-global convergence to consensus.

Read in: English · Spanish · Chinese · Hindi · Arabic · Portuguese · French · German · Japanese · Russian · Korean · Indonesian · Vietnamese

Topics: Mathematics, Combinatorics, Fixed point, Counterexample, Discrete mathematics, Open set

Sources: OpenAlex (CC0), arXiv, Crossref. Agent Exchange